Ángulos

Primer caso:

Se pide calcular el ángulo que forman las 2 rectas (la recta violeta y la recta verde).

Primero determinamos la pendiente de cada una, para ello levantamos por el punto 1 una línea vertical hasta que corta a ambas rectas, medimos la distancia desde el punto 1 sobre el eje x hasta la recta verde y tenemos que esta distancia es 0,67, la distancia del punto uno a la recta violeta es 1,67. 

las pendientes de las rectas son:

Recta violeta= 1,67/1= 1,67

Recta verde= 0,67/ 1= 0,67

A continuación calculamos el cociente entre la diferencia de pendientes y el producto de las mismas más la unidad. Ello es la tan del ángulo que forman.

Tan del ángulo= (1,67-0,67) / 1 + 1,67. 0,67

Vamos a ver concretada esta operación en los siguientes casos:

Segundo caso:

Para calcular el ángulo que forman las dos rectas, hacemos el cociente entre la diferencia de pendientes y el producto de pendientes más la unidad.

Podemos observar que la pendiente de la recta BD es 0,11 y la de la recta AC es 1,25. Haciendo la diferencia entre ambas tenemos 1,14. Dividiendo este número por el producto de ambas pendientes +1 obtenemos la unidad. El ángulo cuya tangente es uno que es de 45°.

Tercer caso: ángulo que forman la recta violeta y la recta verde.

Hacemos el cociente entre la diferencia de sus pendientes y el producto de las mismas más la unidad, obteniendo 1,25. 

El arco cuya tangente es 1,25 corresponde a 51,5°.

Si no tenemos unas tablas para observar que ángulo corresponde a esa tangente, dibujamos los ejes cartesianos y por 1 levantamos una vertical en la que tomamos la medida 1,25. Unimos el extremo D de este segmento con el origen de coordenadas y medimos el ángulo que forma esta recta con el eje x.

Este ángulo es la solución, es el ángulo de 51,5° que corresponde a una tangente de 1,2 unidades.

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Ángulo entre dos planos

Aplicamos la fórmula,  el coseno del ángulo que forman los dos planos es igual a:

ponemos en el numerador el valor absoluto del producto de los coeficientes de un plano por los coeficientes del otro,  tenemos que un plano tiene por coeficientes 2 -1 y 1, tenemos que el otro plano tiene por coeficientes 1 0 y 1, aplicamos el producto y tomamos su valor absoluto y lo ponemos en el  numerador.

A continuación dividimos esto entre el módulo del vector normal de cada plano, esto es, hacemos la raíz cuadrada de los coeficientes al cuadrado sumados, tanto para un plano como para el otro y a continuación hacemos el producto de ambos.

Al final el cociente entre  esos elementos nos da raíz de 3 partido por 2, el coseno del ángulo que tiene por valor esa medida es 30 grados, qué es el ángulo que forman los dos planos.

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Ángulo entre 2 vectores:

Para calcular el ángulo g entre dos vectores, que puede ser el ángulo entre dos lados de una figura, como la que corresponde a este triángulo, tenemos que el coseno del ángulo es igual al producto de los componentes de los vectores dividido entre el producto de los módulos o longitudes de ambos vectores.

Para ello determinamos dos vectores que pasen por tres puntos, siendo uno el de intersección de las rectas de las que vamos a calcular el ángulo. Para calcular los componentes de los vectores restamos los coeficientes en x e y de cada par de puntos.

Una vez que tenemos calculados los componentes de los vectores que son 6,-7 y -7,1, calculamos la longitud de los mismos mediante el teorema de Pitágoras, sumando sus cuadrados y aplicando la raíz cuadrada de la suma. De esta manera obtenemos los módulos de ambos vectores, 9,22 y 7,07.

Sustituimos por tanto en la fórmula en el numerador los componentes de los vectores y aplicamos el producto multiplicando los coeficientes de x por los de x y los coeficientes de y por los de y.

(6, -7) (-7,1)

Dividimos esta medida entre el producto de las longitudes o módulos de los vectores, 9,22 y 7,07.

Como cociente tenemos -0,75.

Podemos dibujar en una circunferencia unitaria la medida de 0,75 ( 3/4 del radio de la circunferencia) y trasladarla mediante una línea paralela al eje y, de esta forma podemos observar que intercepta a la misma bajo un ángulo primero de 41,27° y a continuación su simétrica respecto al eje y de 138,73°.

Para el ángulo entre las dos líneas tomamos siempre el menor de los dos, esto es 41,27°.

Ejercicios de ángulos

 Se trata de calcular las coordenadas de un punto F que tiene que colocarse frente a un segmento  AB de 8 cm a una distancia de 4 cm de la línea del segmento, abarcando el mismo bajo un ángulo de 63,43°.

El centro de la circunferencia que contiene a los tres puntos ABF pasa por la mediatriz de AB. Para saber dónde está el centro de la circunferencia colocamos un triángulo como el de la izquierda de color amarillo en el que dibujamos el ángulo dado de 63,43°, al dibujarlo podemos observar la pendiente del mismo, que es la tangente del ángulo y cuyo valor son dos unidades. (2/1)=m

Hacemos una recta paralela a la línea IH por A, esta recta va a ser la tangente a la circunferencia (de ecuación y=2x+0 por pasar por el origen de coordenadas y tener una pendiente de dos)  por lo que sólo tenemos que calcular la perpendicular a esa dirección IH por A.  La perpendicular por ese punto será una recta que tiene pendiente inversa a la anterior (-1/2) y que pasa también por A, de ordenada cero, su ecuación por tanto es y=-x/2.

La intersección de esta normal a la circunferencia con la mediatriz (recta vertical que por pasar por el punto  4 tiene de ecuación x=4) determina el centro de la circunferencia S. 

y=-x+2   ,   x=4     por tanto   y =-2

de esta manera tenemos ya la ecuación de la circunferencia: (x-4) ²+(x- -2) ² = 4,47 ²

4²+ 2²  es igual a la hipotenusa ó radio al cuadrado, cuyo valor es 4,47.

Haciendo por el punto de coordenadas (0, -4) una recta paralela al segmento dado AB, tenemos que esta recta de ecuación y=-4 corta a la circunferencia en este mismo punto, y además en otro punto F que por ser simétrico del anterior respecto a la mediatriz podemos calcular de forma inmediata. 

Otra forma de calcular el punto F es calcular la intersección de de la circunferencia anterior con la recta verde, de esta manera obtenemos el punto desde el que se ve ese fomento bajo ese ángulo.

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