Espirales
Espiral logarítmica
La ecuación dada está formada por la igualdad entre el radio y una constante de valor positivo mayor que la unidad elevada a un ángulo. Si el ángulo tiende a infinito, la constante, así como el radio también tiende a infinito y el punto de la curva se aleja de forma indefinida del polo al moverse alrededor de la dirección positiva.
Si el punto de la curva da una vuelta completa en torno al centro del espiral y en la dirección positiva, a su ángulo polar se le suma 2pi y su radio polar se multiplica por la constante elevado a 2pi, ya que la constante elevada al ángulo 2 pi es igual a la constante elevada al ángulo por la constante elevada a dos pi, de esta manera el radio polar crece en progresión geométrica en una razón de k elevada a dos pi.
Para construirla tomamos su ecuación que es el radio igual a una constante elevada a un ángulo.
Si tomamos por ejemplo cinco como valor de la constante y lo elevamos a distintos ángulos tenemos lo siguiente: cinco elevado al cuadrado es 25, elevado el cubo 125, elevado a cuatro es 625, etc. Podemos observar el crecimiento exponencial que está representado en el dibujo por triángulos rectángulos proporcionales: la hipotenusa de cada triángulo es la base del cateto mayor del siguiente triángulo proporcional, y así hasta el infinito. Variando la forma de los triángulos podemos obtener distintas espirales logarítmicas, cuando la diferencia entre los catetos es muy grande, el incremento exponencial de los brazos es también mayor.
Espiral de Arquímedes
Si tenemos una ecuación en la que el radio es igual a una constante y que al mismo tiempo es un número positivo y que multiplica a distintos ángulos partiendo desde cero, observamos que el movimiento de ese punto variable se va incrementando siguiendo las coordenadas que satisface a una ecuación de una espiral que llamamos arquimediana.
Si el ángulo es igual a cero el radio también valdrá cero, si empieza a crecer, partiendo desde el cero tenemos que este ángulo se incrementará de forma proporcional respecto a la constante k, que es el coeficiente de proporcionalidad.
El punto variable de la curva -intersección de circunferencias concéntricas con los radios- que parte de cero se mueve en torno a este en dirección positiva alejándose cada vez más del centro y describiendo la espiral hasta dar una vuelta completa, de esta manera el ángulo aumentará en dos-pi y el radio polar r en 2k-pi. De ello se desprende que la espiral de Arquímedes divide cada rayo polar en segmentos iguales -sin tener en cuenta el adyacente al polo o centro de la espiral-, de esta manera todos los segmentos tienen siempre una longitud constante igual a 2k-pi. Esto quiere decir que los brazos del espiral crecen en progresión aritmética, con lo que al hacer una recta que pasa por el polo o centro de la espiral corta a todos los brazos sumando las misma unidad hasta interceptar al siguiente brazo de la espiral en una vuelta completa.
Si la constante k es negativa, la espiral sale invertida y los puntos de la misma corresponden a valores negativos del ángulo alfa.
Para construirla podemos hacer circunferencias concéntricas y un conjunto de diámetros que pasen por un centro, lo que se llama una radiación que incide en el vértice o polo central de la espiral. estos diámetros cortan a las circunferencias en puntos que tomados de forma consecutiva definen la curva en espiral de Arquímedes.
Para construirla de forma numérica tenemos que pensar que la ecuación es:
El radio de cada punto de la curva es igual a una constante aleatoria por un ángulo dado. Si tomamos como constante el punto cinco tenemos que al multiplicarlo por 30° obtenemos un radio de 150, al multiplicar la constante 5 por 60° obtenemos un radio de la espiral de 300, al multiplicarlo por 90° tenemos 450 unidades de radio y así sucesivamente. Al marcar estas medidas sobre cada uno de los radios tomados en medidas angulares de 30° en 30° definimos los puntos de la curva.
En esta espiral, tenemos que la constante es un número positivo que al aumentar el ángulo de forma indefinida tenemos que el radio tiende a cero, ya que es inversamente proporcional al ángulo.
Si el ángulo disminuye desde el valor pi/2 y tiende a cero entonces tenemos que el radio tiende a ser infinito por lo tanto el punto se desplaza hacia el infinito. Al tender hacia el infinito se va aproximando más la recta al eje polar, podemos observar que la línea superior de la espiral tiende a ser paralela al eje polar de la espiral. Si la constante es negativa genera una espiral hiperbólica invertida, cuyos puntos corresponden a valores negativos del ángulo.
Si queremos representar con valores esta espiral, podemos obtener el radio que se va incrementando en la misma al dividir una constante cualquiera, por ejemplo cinco entre distintos ángulos.
La ecuación es el radio igual a una constante partido por el ángulo, por ejemplo r =5/g
Tomando la constante de valor cinco y dividido entre 30º a 0,166, cinco dividido entre 60º es 0,0 83, 5 dividido entre 90º es 0,055, según vamos dividiendo la constante entre una medida angular mayor obtenemos cada vez un radio más pequeño y nos vamos acercando hacia el centro de la espiral.
Curvas potenciales
Superficies cuadráticas:
No hay comentarios:
Publicar un comentario